交替推理链

数独题目其实是一种逻辑推理题目，我们需要根据数独规则和盘面上给出的已知数，通过逻辑推理得到未填格中的数字是什么。

命题

“命题”是逻辑学中的一个重要概念，表示一个可以用“真”、“假”（或“是”、“否”）来回应的陈述。在数独中，“某单元格填某数”就是最简单的一种命题。另外还有诸如“某几个单元格里会出现某数字”这样的命题。

例如对于上面的盘面，“单元格$R1C1$填数字$1$”（或简写为“$R1C1$填$1$”）就是一个命题，虽然我们尚不知道它是“真”还是“假”，但我们未来一定可以用“真”或“假”来回应这个命题。

当我们观察第一列$C1$后，可以发现数字$1$在$C1$中只能出现在$R1C1$中，根据数独规则——每个数字都要在每个区域（行、列、宫）中恰好出现一次，我们可以确定这个命题可以用“真”来回应，或这说这是一个“真命题”。

对应地，“$R1C1$填$5$”也是一个命题，但根据数独规则——每个数字都要在每个区域中恰好出现一次，以及一个事实——数字$5$已经在$R1$中出现过一次了（$R1C9$），我们可以确定$5$不可以填入$R1C1$，所以这个命题可以用“假”来回应，或者说这是一个“假命题”。

已知数和答案数是恒为真的命题。例如上述盘面中$R1C2$中的$7$，是题目给定的，所以“$R1C2$填$7$”在当前盘面的上下文中恒为真。而前面提到，通过推理我们可以得到“$R1C1$填$1$”是“真”，所以可以将$1$填入$R1C1$使其成为答案数，自此之后，“$R1C1$填$1$”也就成了一个永远是“真”的命题了。

候选数是待判断真假的命题。如果一个候选数（即“某单元格填某数”这个命题）被判定为假，则应该被删除（即从对应单元格中删掉对应候选数）。同理，如果一个候选数被判定为真，则可以将该候选数提升为答案数（即在对应单元格中填写对应数字）。

关系

如果两个命题可以互相影响彼此的结果，那么则称两个命题之间存在“关系”。

仍以前一节的盘面为例，这次我们只关注候选数$4$。注意这两个命题：“$R1C3$填$4$”和“$R1C5$填$4$”——虽然在这里我们不能直观地知道哪个命题为真，但根据数独规则我们可以得到这样一个结论：如果“$R1C3$为$4$”是“真”，则“$R1C5$填$4$”是“假”，因为一行中只能出现一个$4$。反之亦然，如果“$R1C5$填$4$”是“真”，则“$R1C3$填$4$”是“假”。

所以，命题“$R1C3$填$4$”和“$R1C5$填$4$”之间存在“关系”。

弱关系

这种前提为真可以推导出结论为假的关系也被成为“弱关系”。也可以说，在弱关系中，两个命题必有一假；或两个命题不可同时为真。

因为数独的规则，弱关系在数独中是普遍存在的。例如数独规则要求同一区域（行、列、宫）中，一个数字$d$只能出现一次，所以位于同一区域中的单元格如果存在相同的候选数$d$，则它们之间彼此都存在弱关系。上述盘面中虽然没有明确标出，但我们依然可以很容易地观察到，“$R1C3$填$4$”和“$R2C3$填$4$”之间存在弱关系，因为第3列中只能出现一个$4$，所以如果“$R1C3$填$4$”为真，则“$R2C3$填$4$”为假。

又如数独规则要求每个单元格都恰好填入一个数字，所以位于同一个未填单元格中的任何两个候选数之间都存在弱关系（不考虑候选数少于两个的情况——如果没有暂时符合规则的候选数，说明当前盘面已经被破坏，要么是题目不合理，要么是截止目前的答案数中有错误；如果只有一个候选数，那么这就是一个单数技巧，应该将候选数提升为答案数）。上述盘面中，以单元格$R1C5$为例，其中有$1$、$4$、$8$三个候选数，则它们彼此之间都存在弱关系。以候选数$1$和$4$为例，对应的命题是“$R1C5$填$1$”和“$R1C5$填$4$”，如果“$R1C5$填$1$”为真，根据数独规则$R1C5$就不能再填$4$了，所以“$R1C5$填$4$”为假。

强关系

注意上述的“关系”或称“弱关系”，都是从一个命题$A$为真出发，推断出另一个命题$B$为假；即使所谓“反之亦然”，也是说从命题$B$为真出发，也可以推断出命题$A$为假。但是如果一个命题为假，我们不能轻易得到另一个命题为真的结论。

但数独规则里的“恰好出现一次”，除了意味着“最多出现一次”，还意味着“至少出现一次”——于是我们就能发现一些更有用的关系。仍以前面的盘面为例，在第$5$宫中我们可以找到这样一对命题：“$R5C5$填$4$”和“$R5C6$填$4$”。它们之间本来只是一个弱关系，但因为第$5$宫中的候选数$4$只能出现在$R5C5$和$R5C6$中，而数独规则要求一宫中每个数字都恰好出现一次——即$4$必须出现一次，所以我们可以得到一个新的结论：如果“$R5C5$填$4$”为假，则“$R5C6$填$4$”为真；或者反之，如果“$R5C6$填$4$”为假，则“$R5C5$填$4$”为真。

又如上述盘面中未明确标出的单元格$R5C4$，其中只有两个候选数$7$和$9$，因为数独规则要求每个单元格都恰好填入一个数字，所以我们也可以得到这样的结论：如果“$R5C4$填$7$”为假，则“$R5C4$填$9$”为真。

这种前提为假可以推导出结论为真的关系称作“强关系”。也可以说，在强关系中，两个命题必有一真；或两个命题不可同时为假。

值得注意的是，强关系本质上也是一种弱关系，因为它也满足弱关系的要求（即某命题为真可以推导出另一命题为假）。所以在之后讨论解题技巧时，凡是需要弱关系的地方，如果存在强关系，也可以把强关系当做弱关系来使用。

关系的图示

在讨论链技巧时，我们可以用图示来表示命题之间的关系，这时也会用“节点”来指代命题。在图示中，命题/节点用实心小圆点表示，它们之间的关系用两点之间的线段表示，虚线表示弱关系，实线表示强关系。

强弱关系的删数逻辑

强关系和弱关系的一个重要作用就是帮助删除候选数，用于简化盘面。

当存在一个强关系时，如果某个命题$X$同时和强关系中的两个命题形成弱关系，就可以确定命题$X$为假。

如上图所示，命题$A$和$B$之间存在强关系，而命题$X$和$A$、$B$同时形成两个弱关系，则$X$必为假。如果$X$是形如“某单元格填某数”的命题，则可以将该候选数删除。

根据强关系的定义，$A$和$B$中必有一真（虽然尚无法确定哪个为真）。又根据弱关系的定义，$A$（或$B$）为真时，$X$为假。所以无论$A$和$B$哪个为真，都可以确定$X$为假，所以结论就是命题$X$为假。

以之前的盘面为例：

之前我们观察到，“$R5C5$填$4$”和“$R5C6$填$4$”构成了一个强关系，现在我们继续观察可以发现，“$R5C7$填$4$”和前面两个命题同时构成了弱关系，因此“$R5C7$填$4$”必然为假，于是我们就可以删除$R5C7$中的候选数$4$了。

这个特例其实恰好是交叉区锁定技巧。根据该技巧，其实我们还可以确定$R5C9$中的$4$也可以删掉——这正是另外一组强弱关系删数。其实很多候选数删除技巧的背后，或多或少都是强弱关系的逻辑，只不过它们通常形成更直观的“结构”或“形状”，使得识别和删数更方便，所以被总结成了各种技巧，而不是直接运用强弱关系。

双值格和共轭对

从上面的删数逻辑可以看出来，强关系是整个逻辑的核心，弱关系只是辅助。只有强关系才能得出某两个命题必有一真的结论，进而通过弱关系得到某命题必然为假。

那么如何找到强关系呢？因为数独规则中存在“恰好一个”的说法，这种书法除了暗示了“最多一个”、“不能有重复”之外，还暗示了“至少一个”、“不能没有”，那么当某个限定条件只能被恰好两个命题满足时，我们就得到了强关系——这两个命题必有一真，不然不符合“至少一个”的要求。

那么从单元格和区域（行、列、宫）的角度出发，我们就能得到两种最直观的强关系——“双值格”和“共轭对”。

“双值格”指的是只有两个候选数的未填单元格。例如上面盘面中的R5C5，其中只有两个候选数3和4，所以“R5C5填3”和“R5C5填4”就是一个强关系，根据数独规则，它们二者必有一真。

“共轭对”指的是针对相同的某一个候选数d，它在某区域（某行、某列或某宫）中恰好只出现了两次。例如上面盘面中的候选数5，在第7行中它只出现了两次，分别在R7C3和R7C7中，所以“R7C3填5”和“R7C7填5”就是一个强关系，根据数独规则，它们二者必有一真。

组合节点

命题除了“某单元格填某数”这种简单形式，还可以组合起来使用，比如“某几个单元格里填某数”。

例如，在上面盘面中第$5$宫里的候选数$6$，直观看来它们之间只存在若干弱关系，对于通过推理进行候选数删除并没有太大帮助。但如果我们对它进行一些分组，就能得到一种强关系。通过观察我们可以发现，这一宫的候选数$6$集中出现在了第$5$行和第$5$列中，这样我们可以将它们分为两组——一组是位于同一行的$R5C4$、$R5C5$、$R5C6$，另一组是位于同一列的$R4C5$、$R6C5$。这样我们可以得到两个有关系的命题：

• 命题$A$：在单元格$R5C4$、$R5C5$、$R5C6$中的某一个里填$6$。
• 命题$B$：在单元格$R4C5$、$R6C5$中的某一个填$6$。

不难发现，根据数独规则，第5宫必须出现恰好一个$6$，所以命题$A$和$B$之间至少有一个是真——它们之间是强关系！

这里的命题$A$和$B$，其实是由多个命题组合而成的，以命题$A$为例，它其实是三个简单命题的“析取”：$(R5C4\mathrm{填}6)\vee (R5C5\mathrm{填}6)\vee (R5C6\mathrm{填}6)$。当在链中使用节点提到这种命题时，称之为“组合节点”。

交替推理链

前面我们看到了强弱关系删除候选数的能力，但之前提到的示例中只有一个强关系参与，而且看上去除了解释交叉区锁定技巧外似乎用途并不是很大。

但是当我们能找到一个由强弱关系交替出现形成的“链”时，有趣的现象就出现了。

上图表示存在四个命题$A$、$B$、$C$和$D$，其中$A$与$B$、$C$与$D$之间是强关系，$B$与$C$之间是弱关系。根据强关系和弱关系的定义，如果$A$为假，$B$必然为真，这就导致$C$为假，进而导致$D$为真；如果从$D$开始，若$D$为假，则可以推导出$A$为真。进而按照强关系的定义，我们发现$A$和$D$之间也是一个强关系！

进而我们可以按照强弱交替的规律继续向链中添加节点（命题），只要确保链的开头和结尾都是强关系，就可以确保链头和链尾两个节点之间也满足强关系的定义。

这可以通过简单的数学归纳法进行证明——

1. 链的前两个节点是强关系。
2. 向1中其中加入一组弱、强关系后，会得到四个节点链，根据前面的分析，这四个节点的头尾节点形成强关系。
3. 去掉2中的中间结点，只保留头尾两个节点，形成类似1中的强关系。
4. 重复2，继续加入弱、强关系。

这样往复下去，可以得知只要强弱关系交替连接，并且链头两个节点之间和链尾两个节点之间都是强关系，就可以确定链头和链尾的节点之间是强关系。按照这种规律形成的链叫做“交替推理链”。如果能找到某命题$X$可以和链头链尾两个命题同时形成两个弱关系，就可以断定X为假——这通常意味着我们可以删掉一些候选数，简化盘面。

根据链的不同模式、长度，我们可以得到很丰富的数独解题技巧：

• 同数双强链：只涉及单一候选数，利用两个共轭对，形成“强-弱-强”形式的链。
• 翼：两端是双值格形式的强关系，形成“强-弱-强-弱-强”形式的链。